向量構成的矩陣該向量組線性無關的條件

假設有 nn 個 mm 維向量 \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n，它們按列排列成一個 m\times nm×n 的矩陣 a=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n]。若 aa 中的向量組線性無關，則有以下兩個等價條件：
aa 中每個向量都不能表示成其它向量的線性組合。
即對於 i=1,2,\cdots,ni=1,2,⋯,n，如果 \boldsymbol{v}_i 可以表示成其它向量的線性組合 \boldsymbol{v}_i=\sum_{j\neq i} a_j\boldsymbol{v}_j，則必須有 a_j=0aj=0，即 \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n 線性無關。
矩陣 aa 的秩等於 nn
即 \operatorname{rank}(a)=n，其中 \operatorname{rank}(a) 表示矩陣 aa 的秩，即 aa 的行向量或列向量線性無關的向量的最大個數。
綜上所述，向量構成的矩陣該向量組線性無關的條件是：矩陣中每個向量都不能表示成其它向量的線性組合，或者說矩陣的秩等於向量的個數。