大陸居民在台灣出事找什麼部門，有沒有類似大使館之類的部門

相當遺憾，兩岸之間並非國與國的關係。
所以並沒有你口中所說『大使館』一類的部門。
大陸居民在台灣出事，只須到台灣各地的警局報案即可，不論任何國籍或身份，只要在台灣的警局報案都會得到受理與處理，基本上不會受到任何差別待遇。